SVM

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机器学习中的SVM

支持向量机是一种经典的二分类模型，基本模型定义为特征空间中最大间隔的线性分类器，其学习的优化目标便是间隔最大化，因此支持向量机本身可以转化为一个凸二次规划求解的问题。

函数间隔与几何间隔

对于二分类学习，假设现在的数据是线性可分的，这时分类学习最基本的想法就是找到一个合适的超平面，该超平面能够将不同类别的样本分开，类似二维平面使用ax+by+c=0来表示，超平面实际上表示的就是高维的平面，如下图所示：

对数据点进行划分时，易知：当超平面距离与它最近的数据点的间隔越大，分类的鲁棒性越好，即当新的数据点加入时，超平面对这些点的适应性最强，出错的可能性最小。因此需要让所选择的超平面能够最大化这个间隔Gap（如下图所示）， 常用的间隔定义有两种，一种称之为函数间隔，一种为几何间隔，下面将分别介绍这两种间隔，并对SVM为什么会选用几何间隔做了一些阐述。

函数间隔

在超平面w’x+b=0确定的情况下，|w’x+b|能够代表点x*距离超平面的远近，易知：当w’x+b>0时，表示x在超平面的一侧（正类，类标为1），而当w’x+b<0时，则表示x在超平面的另外一侧（负类，类别为-1），因此（w’x+b）y* 的正负性恰能表示数据点x是否被分类正确。于是便引出了*函数间隔**的定义（functional margin）:

而超平面（w,b）关于所有样本点（Xi，Yi）的函数间隔最小值则为超平面在训练数据集T上的函数间隔：

可以看出：这样定义的函数间隔在处理SVM上会有问题，当超平面的两个参数w和b同比例改变时，函数间隔也会跟着改变，但是实际上超平面还是原来的超平面，并没有变化。例如：w1x1+w2x2+w3x3+b=0其实等价于2w1x1+2w2x2+2w3x3+2b=0，但计算的函数间隔却翻了一倍。从而引出了能真正度量点到超平面距离的概念–几何间隔（geometrical margin）。

几何间隔

几何间隔代表的则是数据点到超平面的真实距离，对于超平面w’x+b=0，w代表的是该超平面的法向量，设x为超平面外一点x在法向量w方向上的投影点，x与超平面的距离为r，则有x=x-r(w/||w||)，又x在超平面上，即w’x+b=0，代入即可得：

为了得到r的绝对值，令r呈上其对应的类别y，即可得到几何间隔的定义：

从上述函数间隔与几何间隔的定义可以看出：实质上函数间隔就是|w’x+b|，而几何间隔就是点到超平面的距离。

最大间隔与支持向量

通过前面的分析可知：函数间隔不适合用来最大化间隔，因此这里我们要找的最大间隔指的是几何间隔，于是最大间隔分类器的目标函数定义为：

一般地，我们令r^为1（这样做的目的是为了方便推导和目标函数的优化），从而上述目标函数转化为：

对于y(w’x+b)=1的数据点，即下图中位于w’x+b=1或w’x+b=-1上的数据点，我们称之为支持向量（support vector），易知：对于所有的支持向量，它们恰好满足y(w’x+b)=1，而所有不是支持向量的点，有y(w’x+b)>1。

从原始优化问题到对偶问题

对于上述得到的目标函数，求1/||w||的最大值相当于求||w||^2的最小值，因此很容易将原来的目标函数转化为：

即变为了一个带约束的凸二次规划问题，按书上所说可以使用现成的优化计算包（QP优化包）求解，但由于SVM的特殊性，一般我们将原问题变换为它的对偶问题，接着再对其对偶问题进行求解。为什么通过对偶问题进行求解，有下面两个原因：

* 一是因为使用对偶问题更容易求解；
* 二是因为通过对偶问题求解出现了向量内积的形式，从而能更加自然地引出核函数。

对偶问题，顾名思义，可以理解成优化等价的问题，更一般地，是将一个原始目标函数的最小化转化为它的对偶函数最大化的问题。对于当前的优化问题，首先我们写出它的朗格朗日函数：

上式很容易验证：当其中有一个约束条件不满足时，L的最大值为 ∞（只需令其对应的α为 ∞即可）；当所有约束条件都满足时，L的最大值为1/2||w||^2（此时令所有的α为0），因此实际上原问题等价于：

由于这个的求解问题不好做，因此一般我们将最小和最大的位置交换一下（需满足KKT条件） ，变成原问题的对偶问题：

这样就将原问题的求最小变成了对偶问题求最大（用对偶这个词还是很形象），接下来便可以先求L对w和b的极小，再求L对α的极大。

（1）首先求L对w和b的极小，分别求L关于w和b的偏导，可以得出：

将上述结果代入L得到：

（2）接着L关于α极大求解α（通过SMO算法求解，此处不做深入）。

（3）最后便可以根据求解出的α，计算出w和b，从而得到分类超平面函数。

在对新的点进行预测时，实际上就是将数据点x*代入分类函数f(x)=w’x+b中，若f(x)>0，则为正类，f(x)<0，则为负类，根据前面推导得出的w与b，分类函数如下所示，此时便出现了上面所提到的内积形式。

这里实际上只需计算新样本与支持向量的内积，因为对于非支持向量的数据点，其对应的拉格朗日乘子一定为0，根据最优化理论（K-T条件），对于不等式约束y(w’x+b)-1≥0，满足：

核函数

由于上述的超平面只能解决线性可分的问题，对于线性不可分的问题，例如：异或问题，我们需要使用核函数将其进行推广。一般地，解决线性不可分问题时，常常采用映射的方式，将低维原始空间映射到高维特征空间，使得数据集在高维空间中变得线性可分，从而再使用线性学习器分类。如果原始空间为有限维，即属性数有限，那么总是存在一个高维特征空间使得样本线性可分。若∅代表一个映射，则在特征空间中的划分函数变为：

按照同样的方法，先写出新目标函数的拉格朗日函数，接着写出其对偶问题，求L关于w和b的极大，最后运用SOM求解α。可以得出：

（1）原对偶问题变为：

（2）原分类函数变为：

求解的过程中，只涉及到了高维特征空间中的内积运算，由于特征空间的维数可能会非常大，例如：若原始空间为二维，映射后的特征空间为5维，若原始空间为三维，映射后的特征空间将是19维，之后甚至可能出现无穷维，根本无法进行内积运算了，此时便引出了核函数（Kernel）的概念。

因此，核函数可以直接计算隐式映射到高维特征空间后的向量内积，而不需要显式地写出映射后的结果，它虽然完成了将特征从低维到高维的转换，但最终却是在低维空间中完成向量内积计算，与高维特征空间中的计算等效（低维计算，高维表现），从而避免了直接在高维空间无法计算的问题。引入核函数后，原来的对偶问题与分类函数则变为：

（1）对偶问题：

（2）分类函数：

因此，在线性不可分问题中，核函数的选择成了支持向量机的最大变数，若选择了不合适的核函数，则意味着将样本映射到了一个不合适的特征空间，则极可能导致性能不佳。同时，核函数需要满足以下这个必要条件：

由于核函数的构造十分困难，通常我们都是从一些常用的核函数中选择，下面列出了几种常用的核函数：

软间隔支持向量机

前面的讨论中，我们主要解决了两个问题：当数据线性可分时，直接使用最大间隔的超平面划分；当数据线性不可分时，则通过核函数将数据映射到高维特征空间，使之线性可分。然而在现实问题中，对于某些情形还是很难处理，例如数据中有噪声的情形，噪声数据（outlier）本身就偏离了正常位置，但是在前面的SVM模型中，我们要求所有的样本数据都必须满足约束，如果不要这些噪声数据还好，当加入这些outlier后导致划分超平面被挤歪了，如下图所示，对支持向量机的泛化性能造成很大的影响。

为了解决这一问题，我们需要允许某一些数据点不满足约束，即可以在一定程度上偏移超平面，同时使得不满足约束的数据点尽可能少，这便引出了“软间隔”支持向量机的概念

* 允许某些数据点不满足约束y(w'x+b)≥1；
* 同时又使得不满足约束的样本尽可能少。

这样优化目标变为：

如同阶跃函数，0/1损失函数虽然表示效果最好，但是数学性质不佳。因此常用其它函数作为“替代损失函数”。

支持向量机中的损失函数为hinge损失，引入“松弛变量”，目标函数与约束条件可以写为：

其中C为一个参数，控制着目标函数与新引入正则项之间的权重，这样显然每个样本数据都有一个对应的松弛变量，用以表示该样本不满足约束的程度，将新的目标函数转化为拉格朗日函数得到：

按照与之前相同的方法，先让L求关于w，b以及松弛变量的极小，再使用SMO求出α，有：

将w代入L化简，便得到其对偶问题：

将“软间隔”下产生的对偶问题与原对偶问题对比可以发现：新的对偶问题只是约束条件中的α多出了一个上限C，其它的完全相同，因此在引入核函数处理线性不可分问题时，便能使用与“硬间隔”支持向量机完全相同的方法。